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Analisi termica — Scatola su linea di forno

Campionamento IR della temperatura di una scatola che attraversa un forno su linea di produzione. Finestra di osservazione: 0.2 s → 133.7 s (133.5 s totali, 888 campioni).

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1. Dati e analisi preliminare

1.1 Dati grezzi

Il grafico seguente riporta il profilo termico completo acquisito dal sensore IR, a partire da t = 105 s. Sono mostrate le due curve: temperatura ambiente e temperatura della scatola.

Temperatura ambiente (blu) e temperatura scatola (arancione).

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1.2 Temperatura ambiente T∞

Metodologia

T_inf è usata come temperatura di equilibrio nel modello di raffreddamento. È calcolata come media ponderata sul tempo sull'intera finestra di osservazione, con la regola dei trapezi:

T_{\infty} = \frac{\int_{t_i}^{t_f} T_{amb}(t)\, dt}{t_f - t_i}

Questo approccio è corretto con campionamento non uniforme: ogni campione pesa proporzionalmente all'intervallo di tempo che copre.

Risultati

Parametro	Valore
T ambiente minima	22.60 °C
T ambiente massima	23.80 °C
T∞ (media ponderata)	22.99 °C

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2. Raffreddamento

Il profilo di raffreddamento è modellato con la legge di Newton:

T(t) = T_{\infty} + A \cdot e^{-\frac{t - t_0}{\tau}}

con T_{\infty} = 22.99\ °C fisso. Il metodo di stima è in tutti i casi Nonlinear Least Squares con Trust Region Reflective (TRF) — scipy.optimize.curve_fit(..., method="trf").

2.1 Raffreddamento intero

Fit sulla finestra completa t₀ = 115.0 s → fine osservazione, con pesi espliciti per escludere la zona di transizione in uscita dal forno.

Schema dei pesi:

Intervallo	Peso	Motivazione
[115.0, 115.9) s	w = 1	Raffreddamento regolare
[115.9, 117.2] s	w = 0 (σ = 10¹⁰)	ERRORE DI MISURA
(117.2, fine] s	w = 1	Raffreddamento regolare

I punti nella zona arancione ricevono peso nullo: assegnando σ = 10¹⁰ il termine (residuo/σ)² → 0, rendendoli ininfluenti sul costo del fit. Entrambi i parametri A e \tau sono liberi.

Parametri stimati

Parametro	Descrizione	Valore
A	Sovratemperatura iniziale	185.18 ± 0.27 °C
\tau	Costante di tempo	16.27 ± 0.05 s

Curva stimata

T(t) = 22.99 + 185.18 \cdot e^{-\frac{t - 115.0}{16.27}} \quad [°C]

Bontà del fit

Metrica	Valore	Nota
R^2	0.9938	Calcolato solo sui punti con peso pieno

Grafico

Dati raw (blu), zona di transizione esclusa (arancione), curva di fit TRF (rosso tratteggiato).

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2.2 Raffreddamento 1° tratto

Fit sul primo sotto-tratto di raffreddamento [115.0, 115.9 s], la finestra precedente alla zona di transizione. Pesi uniformi (w = 1 su tutti i punti). Parametri liberi: A, \tau.

Finestra: t₀ = 115.0 s → 115.9 s.

Parametri stimati

Parametro	Descrizione	Valore
A	Sovratemperatura iniziale	194.51 °C
\tau	Costante di tempo	13.17 s

Curva stimata

T(t) = 22.99 + 194.51 \cdot e^{-\frac{t - 115.0}{13.17}} \quad [°C]

Bontà del fit

Metrica	Valore
R^2	0.9998

Grafico

Dati raw temp_obj IR [C] (blu) e curva di fit (rosso tratteggiato) nella finestra [115.0–115.9 s].

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2.3 Raffreddamento 2° tratto

Fit sul solo tratto di raffreddamento stazionario, a partire dall'istante in cui la scatola ha completato l'uscita dal forno. In questa finestra i dati seguono il modello esponenziale senza discontinuità, quindi non sono necessari pesi espliciti.

Finestra: t₀ = 117.5 s → fine osservazione. Pesi uniformi (w = 1 su tutti i punti). Parametri liberi: A, \tau.

Parametri stimati

Parametro	Descrizione	Valore
A	Sovratemperatura iniziale	154.94 °C
\tau	Costante di tempo	17.12 s

Curva stimata

T(t) = 22.99 + 154.94 \cdot e^{-\frac{t - 117.5}{17.12}} \quad [°C]

Bontà del fit

Metrica	Valore
R^2	0.9981

R^2 = 0.9981: il modello spiega il 99.81 % della varianza — fit eccellente sul tratto di puro raffreddamento.

Grafico

Dati raw temp_obj IR [C] (blu) e curva di fit (rosso tratteggiato) a partire da t = 115 s.

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2.4 Raffreddamento doppio esponenziale

Motivazione

Osservando i fit singoli sovrapposti ai dati raw, si nota che nessuno dei due esponenziali riesce a descrivere l'intera curva: il fit del 1° tratto (τ₁ ≈ 13 s) decade troppo rapidamente nella fase finale, mentre il fit del 2° tratto (τ₂ ≈ 17 s) non coglie la dinamica iniziale più ripida. Questo suggerisce la presenza di due contributi termici sovrapposti con costanti di tempo diverse.

Confronto tra il fit del 1° tratto (rosso) e del 2° tratto (verde) sovrapposti ai dati raw: nessuno dei due descrive correttamente l'intera curva.

Il raffreddamento di un corpo che ha subito un processo termico complesso può essere descritto dalla combinazione lineare di due esponenziali: il primo termine cattura una componente rapida (raffreddamento superficiale immediato), il secondo una componente lenta (dissipazione termica del nucleo della scatola). Il modello adottato è:

T(t) = T_{\infty} + A_1 \cdot e^{-\frac{t - t_1}{\tau_1}} + A_2 \cdot e^{-\frac{t - t_2}{\tau_2}}

con T_{\infty} = 22.99\ °C, t_1 = 115.0\ s e t_2 = 117.5\ s fissi. La zona [115.9, 117.2 s] è esclusa con pesi nulli (σ = 10¹⁰), come nei fit precedenti.

Parametri stimati

Parametro	Descrizione	Valore
A_1	Ampiezza componente rapida	20.73 ± 0.93 °C
\tau_1	Costante di tempo rapida	1.80 ± 0.17 s
A_2	Ampiezza componente lenta	152.44 ± 0.65 °C
\tau_2	Costante di tempo lenta	17.60 ± 0.13 s

Curva stimata

T(t) = 22.99 + 20.73 \cdot e^{-\frac{t - 115.0}{1.80}} + 152.44 \cdot e^{-\frac{t - 117.5}{17.60}} \quad [°C]

Bontà del fit

Metrica	Valore	Nota
R^2	0.9991	Calcolato solo sui punti con peso pieno

Rispetto al singolo esponenziale (R² = 0.9938 nel fit intero), il doppio esponenziale migliora significativamente la bontà del fit catturando la dinamica iniziale rapida (\tau_1 \approx 1.8\ s) che il modello a un solo termine non riusciva a descrivere.

Grafico

Dati raw (blu), contributo rapido (rosso punteggiato), contributo lento (verde punteggiato), somma totale (viola tratteggiato), zona esclusa (arancione).